Question

线性空间的定义

Answer 1

线性空间是指一个非空集合V，其中定义了两个运算：加法和数乘，满足以下条件：

对于任意的u,v∈V，u+v∈V，即加法运算的结果仍然属于V内。

对于任意的u,v,w∈V，有(u+v)+w=u+(v+w)，即加法运算满足结合律。

对于任意的u,v∈V，有u+v=v+u，即加法运算满足交换律。

存在一个元素0∈V，使得对于任意的u∈V，有u+0=u，即存在一个加法单位元素。

对于任意的u∈V，存在一个元素−u∈V，使得u+(−u)=0，即对于任意的元素u都存在一个加法逆元素。

对于任意的u∈V和任意的标量c，有c·u∈V，即数乘运算的结果仍然属于V内。

对于任意的u∈V和任意的标量c,d，有c·(d·u)=(cd)·u，即数乘运算满足结合律。

对于任意的u∈V和任意的标量c,d，有(c+d)·u=c·u+d·u，即数乘运算满足分配律。

对于任意的u∈V，有1·u=u，即存在一个数乘单位元素。

其中，加法运算满足前5个条件，数乘运算满足后4个条件。