线性空间的定义
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线性空间是指一个非空集合V,其中定义了两个运算:加法和数乘,满足以下条件:
对于任意的u,v∈V,u+v∈V,即加法运算的结果仍然属于V内。
对于任意的u,v,w∈V,有(u+v)+w=u+(v+w),即加法运算满足结合律。
对于任意的u,v∈V,有u+v=v+u,即加法运算满足交换律。
存在一个元素0∈V,使得对于任意的u∈V,有u+0=u,即存在一个加法单位元素。
对于任意的u∈V,存在一个元素−u∈V,使得u+(−u)=0,即对于任意的元素u都存在一个加法逆元素。
对于任意的u∈V和任意的标量c,有c·u∈V,即数乘运算的结果仍然属于V内。
对于任意的u∈V和任意的标量c,d,有c·(d·u)=(cd)·u,即数乘运算满足结合律。
对于任意的u∈V和任意的标量c,d,有(c+d)·u=c·u+d·u,即数乘运算满足分配律。
对于任意的u∈V,有1·u=u,即存在一个数乘单位元素。
其中,加法运算满足前5个条件,数乘运算满足后4个条件。
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