Question

初三数学高手请进

在正方形ABCD中，点E为BC边上一点，连接AE，以AE为一边做角EAF=45度，AF交直线BC于点F，连接DF，若AB=6，BE=2，则线段DF的长为多少？
答案：3倍根号13，或，6倍根号2。 谢谢高手帮忙。

Answer 1

很明显，点F可能在BC的延长线上，也可能在CB的延长线上。
∴需要分两种情况进行处理。
一、当点F在BC的延长线时，延长CD至G，使DG＝BE＝2；令AF与CD相交于H。
　　∵ABCD是正方形，∴AB＝AD、∠ABE＝∠ADG＝90°，又BE＝DG，∴△ABE≌△ADG，
　　∴∠BAE＝∠DAG、AE＝AG。
　　∵ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，又∠EAH＝45°，∴∠BAE＋∠DAH＝45°，
　　∴∠DAG＋∠DAH＝45°，∴∠GAH＝45°。
　　
　　由AE＝AG、AH＝AH、∠EAH＝∠GAH＝45°，得：△AEH≌△AGH，∴EH＝GH，
　　∴EH＝DG＋DH＝BE＋DH＝2＋DH。
　　显然有：CH＝CD－DH＝AB－DH＝6－DH、∠ECH＝90°、CE＝BC－BE＝6－2＝4。
　　∴由勾股定理，有：EH^2＝CH^2＋CE^2，∴（2＋DH）^2＝（6－DH）^2＋16，
　　∴4＋4DH＋DH^2＝36－12DH＋DH^2＋16，∴16DH＝48，∴DH＝3，∴CH＝3。

　　显然有：HC∥AB，又CH＝3、AB＝6，∴CH是△FAB的中位线，∴CF＝BC＝6。
　　∴由勾股定理，有：
　　DF＝√（CD^2＋CF^2）＝√（36＋36）＝6√2。

二、当点F在CB的延长线时，为了与上述情况一的点F区分开来，令此时的点F为K。
　　∵∠AEK＝∠AGH、AE＝AG、∠EAK＝∠GAH＝45°，∴△AEK≌△AGH，∴EK＝GH，
　　∴BE＋BK＝DG＋DH，∴BK＝DH＝3，∴CK＝BC＋BK＝6＋3＝9。
　　∴由勾股定理，有：
　　DK＝√（CD^2＋CK^2）＝√（36＋81）＝3√13。
　　即：此时的DF＝3√13。
综上所述，得：满足条件的DF的长是3√13，或6√2。