Question

请问如何用拉格朗日中值定理证明当x>0时,x/(1+x)<ln(1+x)<x

Answer 1

去f=ln(1+x)，f的导数就是1(1+x)，这个导数是在正实数上是单调递减的。分别取0点和x点做拉格朗日中值定理的端点，列出比例式子，而这个等于0到x之间的某个点的导数。由导数的单调性知道，这个值比在0点的导数小，也就是比1小，比在x出的导数大，也就是比1(1+x)大。公式太难打了，我已经说明白了。你写出来变形一下就可以了。