Question

定积分的应用

y = f(x) 在[a,b]上连续非负，由曲线f(x), 直线x = a , x = b 及x轴围城的平面绕y轴旋转一周得旋转体，导出该旋转体的体积公式

求详细过程

Answer 1

y = f(x) 在[a,b]上连续非负，由曲线f(x), 直线x = a , x = b 及x轴围城的平面绕y轴旋转一周得旋转体

这里采用的是剥层法
近似的把图形看做由若干个圆环柱体的体积之和，当分割T→0时，圆环柱体体积之和等于所求旋转体体积。

在[a,b]上取分割为T的n-1个分点，
得到n个区间：
[x0,x1],[x1,x2],…,[x(i-1),xi],…,[x(n-1),xn]

对每个区间旋转后形成的圆环柱体,
vi=π[(xi)^2-(xi-Δi)^2]*f(ξ)
=π(2xiΔi-Δi^2)*f(ξ)
舍去高价无穷小量
≈2π[xif(ξ)]*Δi

所以体积之和为
∑2π[xif(ξ)]*Δi
=2π∑[xif(ξ)]*Δi

当T→0时，极限等于
2π∫xf(x)dx 积分区间[a,b]

手机手打不容易啊～
希望对楼主有所帮助，望采纳！