Question

导数X²+2/X²+1的原函数是什么？

Answer 1

首先，根据导函数求原函数的方法，我们可以设该原函数为F(x)，则F'(x) = x^2 + 2/(x^2 + 1)。

接着，我们可以尝试通过计算F'(x)的积分来求出F(x)。对于导数中的每一项，我们都可以运用常规的积分方法：

∫ x^2 dx = x^3/3 + C1（其中C1为常数）

对于 2/(x^2 + 1) 部分，我们可以利用反余切函数进行代换，令 u = x^2 + 1，用反余切函数求得相应的积分：

∫ 2/(x^2 + 1) dx = 2arctan(x) + C2（其中C2为常数)

将上述两个积分结果合并，即可得到该函数的原函数为：

F(x) = x^3/3 + 2arctan(x) + C（其中C为常数）

因此，经过计算得出，该函数的原函数为 F(x) = x^3/3 + 2arctan(x) + C。

Answer 2

要求一个函数的原函数，就是要求这个函数的一个不定积分。所以，我们来求导数$f(x) = x^2 + \frac{2}{x^2+1}$的一个不定积分。
首先，我们可以对$f(x)$进行拆分，得到
$$f(x) = x^2 + \frac{2}{x^2+1} = x^2 + 2\cdot\frac{1}{x^2+1}$$
对于第一项$x^2$，它的不定积分是$\frac{1}{3}x^3+C_1$，其中$C_1$是常数。
对于第二项$2\cdot\frac{1}{x^2+1}$，我们可以通过代换$x = \tan t$来求它的不定积分，具体过程如下：
$$\begin{aligned} \int 2\cdot\frac{1}{x^2+1}\mathrm{d}x &= \int 2\cdot\frac{1}{\tan^2 t + 1}\cdot\frac{1}{\cos^2 t}\mathrm{d}t \ &= 2\int\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t+\cos^2 t}\mathrm{d}t \ &= 2\int\frac{\cos^2 t}{1+\tan^2 t}\mathrm{d}t \ &= 2\int\cos^2 t\mathrm{d}t \ &= \int(\cos 2t + 1)\mathrm{d}t \ &= \frac{1}{2}\sin 2t + t + C_2 \end{aligned}$$
其中$C_2$是常数。
最后，我们将两项的不定积分加起来，即可得到$f(x)$的一个原函数：
$$\int f(x)\mathrm{d}x = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}\arctan x + C$$
其中$C = C_1 + C_2$是常数。