Question

高中数学平面向量问题

对于平面内任意三点A,B,C,O为不同于A,B,C的任意一点，设向量OC=X向量OA+Y向量OB，若实数X,Y满足X+Y=1，则三点A,B,C共线（三点共线判定定理）为什么共线就会满足X+Y=1呢？？？

Answer 1

若A、B、C共线，则AB=mAC＋nBC，则：
OB－OA=m(OC－OA)＋n(OC－OB)
(m＋n)OC=(m－1)OA＋(n＋1)OB
即：
OC=[(m－1)/(m＋n)]OA＋[(n＋1)/(m＋n)]OB
显然，此时，x＋y=1
反过来也可以证明的

追问

OB－OA=m(OC－OA)＋n(OC－OB)不是等于(m＋n)OC=(m+1)OA＋(n－1)OB
吗？右边的－OA移到右边要加的，还有下边的（m－1）/（m+n）怎么就能看出是M+N＝1啊？

追答

OB－OA=m(OC－OA)＋n(OC－OB)
OB＋nOB－OA＋mOA=mOC＋nOC
(n＋1)OB＋(m－1)OA=(m＋n)OC
(m＋n)OC=(m－1)OA＋(n＋1)OB
即：
OC=[(m－1)/(m＋n)]OA＋[(n＋1)/(m＋n)]OBn
此时，x=(m－1)/(m＋n)，y=(n＋1)/(m＋n)
则：x＋y=[(m－1)/(m＋n)]＋[(n＋1)/(m＋n)]=(m＋n)/(m＋n)=1
反过来也可以证明的

Answer 2

三点共线就是向量AB可以由向量BC表示出来，即向量AB=a向量BC,而AB=OB-OA,BC=OC-OB，带进去就是OB-OA=a（OC-OB），化简就是OC=(1+a)/aOB-1/aOA,则X=(1+a)/a;Y=-1/a,
所以X+Y=1。

Answer 3

“设向量OC=X向量OA+Y向量OB”请写清楚点