Question

f(x)=x^2-2x-3,若x∈[t,t+2]时,求函数f(x)最值

Answer 1

f'(x)=2x-2=2(x-1)
所以当x≥1时，f'(x)≥0,f(x)单增，那么当t≥1时，f(x)在[t,t+2]上单增，此时f(t)为最小值，f(t+2)为最大值，
当x<1时，f'(x)<0,f(x)单减，那么当t+2≤1时，即t≤-1时，f(x)在[t,t+2]上单减，此时f(t)为最大值，f(t+2)为最小值，
当-1<t<1时，f(x)在[t,t+2]上先单减后单增，当x=1时，f’(1)=0，所以f(1)为最小值，f(1)=-4
又由于f(t)=t²-2t-3，f(t+2)=(t+2)²-2(t+2)-3
f(t+2)-f(t)=4t，所以当-1<0<t时，f(x)在[t,t+2]上最大值为f(t)，当0≤t<1时，最大值为f(t+2)
综上，
当t≥1，最大值是f(t+2)，最小值是f(t)
当0≤t<1时，最大值为f(t+2)，最小值是-4
当-1<0<t时，最大值为f(t)，最小值是-4
当t≤-1时，最大值是f(t)，最小值是f(t+2)

追问

是f(x)=x^2-2x-3,

追答

没学过求导？我第一步写的是带了‘的，表示是f(x)导数。。。

追问

嗬嗬，是还没学，现在才学高一必修一，老师讲课偶尔提到过。

追答

那用数形结合做，
f(x)=x²-2x-3=(x-1)²-4，对称轴为x=1
对称轴右侧图像是单增曲线，左侧是单减曲线
当t≥1时，[t,t+2]全部在对称轴右侧，当t+2≤1时，则全部在左侧
当t1时，最小值是可以确定的,即顶点f(1)，最大值可以用我上边的f(t+2)-f(t)来判断

追问

我想知道 当t≥1，最大值是f(t+2)，最小值是f(t)
当t≤-1时，最大值是f(t)，最小值是f(t+2) 这两种情况，为什么还有 当0≤t<1时，最大值为f(t+2)，最小值是-4
当-1<0<t时，最大值为f(t)，最小值是-4
？

追答

最小值是f(1)=-4那里明白么？

Answer 2

f(x)=(x-1)^2 -4,对称轴为x＝1,

x∈[t,t+2],故最值与定义域与x＝1的位置有关！

(1)t≥1，图像位于对称右半侧
最大值就是f(t+2)＝(t+1)^2-4
最小值＝f(t)＝t^2-2t-3

(2)对称轴位于定义域内，即t∈(-1,1),t<1<(t+2)
此时，最小值为f(1)＝-3
当t>0时，最大值为f(t+2)＝(t+1)^2-4
当t<0时，最大值为f(t)＝t^2-2t-3

(3)t≤-1,即t+2≤1,图像位于对称轴左侧
此时最小值是f(t+2)＝(t+1)^2-4
最大值是f(t)＝t^2-2t-3

追问

你复制来也不要那么明显

追答

输入到第二种情况，觉得自己输入有些慢！只要能懂就好，既然知道网上有，难道看不懂？

追问

嗯，不太喜欢这种行为，我只是想确定一下答案而已，还有，我自己提问我可以问个清楚。

追答

我一般都会自己回答，但最近回答的再完整，常常还是被淘汰，有些甚至采纳错误的，有些郁闷。
哪个地方不懂可以讲一下，上面这种方法比较适合所有学生，上海学生没学过楼下的导数法

Answer 3

由题知，函数的对称轴是 x=1
【1】当t+2<1时，即t<-1,最大值max=f(t)=t^2-2t-3 最小值min=f(t+2)=t^2+2t-3
【2】当t>=1时，最小值min=f(t)=t^2-2t-3,最大值max=f(t+2)=t^2+2t-3
【3】当-1<t<1时，f(t)=t^2-2t-3,f(t+2)=t^2+2t-3
其中最小值在对称轴处取到，min=-4
下面讨论最大值的问题
f(t)-f(t+2)=-4t
【3.1】当-1<t<0时，f(t)-f(t+2)=-4t>0,所以最大值是max=f(t)=t^2-2t-3
【3.2】当0<t<1时，f(t)-f(t+2)=-4t<0,所以最大值是max=f(t+2)=t^2+2t-3
然后，自己整理下。

Answer 4

t>1或t<-1时，最大为（t-1）^2-4;
-1<=t<=1时。最大为 -4