Question

一篮鸡蛋四个四个数少两个,7个7个数多5个,篮子里最少有多少个鸡蛋？

Answer 1

设篮子里原本有 $x$ 个鸡蛋，则：

- 如果四个四个数少两个，那么篮子里有 $(x-2)$ 个鸡蛋时，能够被 4 整除。因此，$(x-2)$ 必须是 4 的倍数，即存在整数 $m$，使得 $(x-2)=4m$。
- 如果七个七个数多五个，那么篮子里有 $(x+5)$ 个鸡蛋时，能够被 7 整除。因此，$(x+5)$ 必须是 7 的倍数，即存在整数 $n$，使得 $(x+5)=7n$。

将以上两个式子联立起来，得到：

$$\begin{cases} x-2=4m \\ x+5=7n \end{cases}$$

我们需要找到最小的正整数 $x$，使得上述方程有解。可以将第一个式子中的 $x$ 替换为 $4m+2$，得到：

$$(4m+2)+5=7n$$

化简后得到 $4m-7n=-3$。这是一个关于 $m$ 和 $n$ 的线性不定方程，可以使用裴蜀定理求解。根据裴蜀定理，该方程有解当且仅当 $3$ 是 $4$ 和 $7$ 的最大公约数的倍数。由于 $\text{gcd}(4,7)=1$，因此 $\text{gcd}(4,7,3)=1$，即 $3$ 不是 $4$ 和 $7$ 的公约数，所以该方程无解。

但我们还需要回答篮子里最少有多少个鸡蛋。由于无解，因此篮子里不存在能同时满足四个四个数少两个和七个七个数多五个的鸡蛋数，因此无法确定篮子里最少有多少个鸡蛋。

Answer 2

解:篮子里最少有54个鸡蛋。因为四个四个的数，数14次为56个，则少两个，七个七个的数，数7次为49个，则多5个，所以答案为54个。