高中数学函数问题,求高手解答!
题目如下:设定义域为R的函数f(x)={|lgx|(x>0);-x2-2x(x≤0)}若关于x的函数y=2f2(x)+2bf(x)+1有8个不同的零点,则实数b的取值范围...
题目如下:
设定义域为R的函数f(x)={ |lg x| (x>0); -x2-2x (x≤ 0) } 若关于x的函数y=2f2(x)+2bf(x)+1有8个不同的零点,则实数b的取值范围是__________ 展开
设定义域为R的函数f(x)={ |lg x| (x>0); -x2-2x (x≤ 0) } 若关于x的函数y=2f2(x)+2bf(x)+1有8个不同的零点,则实数b的取值范围是__________ 展开
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解:(1)画出分段函数 f(x) 的图像。
(2)关于x的函数y=2f2(x)+2bf(x)+1有8个不同的零点,
若△=0,即有一个f(x)的值,使得y=0,设这个值是f(x)=m,根据题意,即有8个不同的
x值,使得f(x)=m,由f(x)图像知,这是不可能的;
若△>0,即有两个f(x)的值,使得y=0,设这两个值分别是:f(x)=k 和 f(x)=h,根据题意
即有4个x的值使得f(x)=k,另有4个x的值,使得f(x)=h,结合f(x)图像,这种情况是可能
的,即在 0<f(x)<1范围内,一个f(x)的值对应4个x值。
所以:原题可转化为下题:
关于x的函数F(X)=y=2X^2+2bX+1(X相当于原式中f(x)),与X轴有两个不同的交点,
且交点都在(0,1)内,求b的范围。
只需满足以下四个条件即可:
△>0 0< -2b/(2*2) <1 (对称轴) F(0)>0 F(1)>0
联立可解得:-3/2 < b < -√2
(2)关于x的函数y=2f2(x)+2bf(x)+1有8个不同的零点,
若△=0,即有一个f(x)的值,使得y=0,设这个值是f(x)=m,根据题意,即有8个不同的
x值,使得f(x)=m,由f(x)图像知,这是不可能的;
若△>0,即有两个f(x)的值,使得y=0,设这两个值分别是:f(x)=k 和 f(x)=h,根据题意
即有4个x的值使得f(x)=k,另有4个x的值,使得f(x)=h,结合f(x)图像,这种情况是可能
的,即在 0<f(x)<1范围内,一个f(x)的值对应4个x值。
所以:原题可转化为下题:
关于x的函数F(X)=y=2X^2+2bX+1(X相当于原式中f(x)),与X轴有两个不同的交点,
且交点都在(0,1)内,求b的范围。
只需满足以下四个条件即可:
△>0 0< -2b/(2*2) <1 (对称轴) F(0)>0 F(1)>0
联立可解得:-3/2 < b < -√2
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