Question

2.计算四阶行列式 D= 1 0 2 1 0 2 1 0 1 3 1 1 0 1 1 1 1 1？

Answer 1

要计算这个四阶行列式D，我们可以使用行列式的性质和对角线法则。给定的行列式是：
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D = | 1 0 2 1 |
| 0 2 1 0 |
| 1 3 1 1 |
| 0 1 1 1 |
首先，我们可以通过对第一行进行展开来计算该行列式。这将使我们得到：
markdown
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D = 1 * | 2 1 0 |
- 0 * | . . . | (此项为0，因为乘以0)
+ 2 * | 0 1 1 |
- 1 * | 0 2 1 |
现在，我们有三个三阶行列式。接下来，我们可以分别对这三个三阶行列式进行展开：
scss
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D = 1 * (2 * (1 * 1 - 1 * 1) - 1 * (0 * 1 - 1 * 1) + 0 * (0 * 1 - 1 * 1))
+ 2 * (0 * (1 * 1 - 1 * 1) - 1 * (1 * 1 - 1 * 1) + 1 * (1 * 1 - 3 * 1))
- 1 * (0 * (1 * 1 - 1 * 1) - 2 * (1 * 1 - 1 * 1) + 1 * (1 * 1 - 3 * 1))
计算这些项，我们得到：
scss
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D = 1 * (2 * 0 - 1 * 1 + 0 * 0) + 2 * (0 * 0 - 1 * 0 + 1 * (-2)) - 1 * (0 * 0 - 2 * 0 + 1 * (-2))
简化表达式：
scss
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D = 1 * (-1) + 2 * (-2) - 1 * (-2) = -1 - 4 + 2 = -3
所以，给定四阶行列式D的值为 -3。

Answer 2

根据行列式的定义，将矩阵变换为上三角矩阵时，行列式的值不变，因此可以通过初等变换将该行列式化为上三角矩阵，然后计算对角线上的元素的乘积就是该行列式的值。
对第1列进行初等变换 R2=R2-2R1，R3=R3-R1，得到以下矩阵：
1 0 2
0 2 -3
0 1 -1
接着对第2列进行初等变换 R3=R3-（1/2）R2，得到以下矩阵：
1 0 2
0 2 -3
0 0 1
根据行列式的乘法法则，该行列式的值为对角线上元素的乘积，即 D=1×2×1=2。
因此，该四阶行列式D的值为2。