Question

求齐次线性方程组的通解第10题，特别着急！！

Answer 1

为了求解这个齐次线性方程组，我们可以将其转换为矩阵形式并对矩阵进行高斯消元法处理。首先将系数写成一个矩阵：
A = | 1 1 -1 -1 |
| 1 2 2 3 |
| 2 3 1 2 |
我们的目标是将矩阵 A 转换为阶梯形矩阵。首先使用第一行消去下面两行的第一个元素：
R2 = R2 - R1
R3 = R3 - 2 * R1
得到：
A = | 1 1 -1 -1 |
| 0 1 3 4 |
| 0 1 3 4 |
我们发现 R2 和 R3 是相同的，所以消去其中一个：
R3 = R3 - R2
得到：
A = | 1 1 -1 -1 |
| 0 1 3 4 |
| 0 0 0 0 |
现在我们得到了一个简化的阶梯形矩阵。我们可以通过回代法求解变量：
从第二个方程解出 x2：
x2 = -3x3 - 4x4
将 x2 的表达式代入第一个方程求解 x1：
x1 = -x2 + x3 + x4
x1 = 3x3 + 4x4 - x3 - x4
x1 = 2x3 + 3x4
所以，我们得到了齐次线性方程组的通解：
x1 = 2x3 + 3x4
x2 = -3x3 - 4x4
x3 = x3
x4 = x4
其中 x3 和 x4 是任意实数。我们可以用向量表示通解：
x = x3 * (2, -3, 1, 0) + x4 * (3, -4, 0, 1)
这是齐次线性方程组的通解。