Question

圆台和圆锥的体积和表面积计算公式

Answer 1

注：有几个重要步骤不能显示，所以请打开参考链接！！！）
圆台的体积和表面积
用平行于底面的平面切割圆锥时，上部分仍是圆锥，下部分成为圆台。
圆台的上下两个平面是平行的，侧面是圆锥的一部分，它显然是曲面。
切割高度为h的圆锥，做成圆台，将下底面的半径记这r1，上底面的半径记为r2；将高度h分为两个，圆台的高度记为h1，上圆锥部分的高度记为h2。
首先，由于两个相似形的面积比是相应项之比的平方，体积比是相应项之比的立方，参见图3．10有
另外，由h2∶h＝r2∶r1有r1h2＝r2h，
r1h2＝r2(h1+h2)，r1h2－r2h2
＝r2h1
将②代入①，
由此可知，如果知道上底面、下底面的半径和圆台的高度，即可求出圆台的体积，在此式中也有π。
下面求圆台的表面积(全表面积)。这样的问题用展开图描绘比较容易理解。
因此，参看图3－11。
因为上底面和下底面都是圆，所以其面积为πr22+πr12＝π(r22+r12)，侧面面积为
(侧面的面积)＝πr1l－πr2l2
＝π〔r1(l1+l2)－r2l2〕
＝π〔r1l1+l2(r1－r2)〕
①
另外，因为r2∶r1＝l2∶l
及r2∶r1＝l2∶(l1+l2)
有r2(l1+l2)＝r1l2
r2l1+r2l2＝r1l2，r2l1＝l2(r1－r2
)
将②式代入①式，有
＝π(r1l1+r2l1)
＝πl1(r1+r2)
由此可知，为了求圆台的表面积，可求出上底面和下底面的半径及斜高(不是高度，而是母线的一部分)，即可像下面那样求表面积。
(表面积)＝(上、下两个圆的面积)+(侧面积)
＝π(r22+r12)+πl1(r1+r2)
＝π(r1l1+r22+r12+r2l1)
＝π｛r1(l1+r1)+r2(l1+r2)｝
在此，π也起着重要作用。
重新整理写出圆台的体积V和表面积S的计算公式：
S＝π〔r1(l1+r1)+r2(l1+r2)〕
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