Question

求微分方程 y^n-5y`+4y=e^x+4 的通解.

Answer 1

解:微分方程为y"-5y'+4y=eˣ+4，设微分方程的特征值为p，特征方程为p²-5p+4=0，(p-1)(p-4)=0，得:p=1或4，微分方程的特征根为eˣ、e⁴ˣ
∵微分方程的右式为eˣ+4 ∴设微分方程的特解为y=axeˣ+b，有y'=aeˣ+axeˣ，y"=2aeˣ+axeˣ，则2aeˣ+axeˣ-5(aeˣ+axeˣ)+4axeˣ+4b=eˣ+4，得:-3a=1，4b=4，a=-1/3，b=1
微分方程的通解为y=(-x/3+A)eˣ+Be⁴ˣ+1(A、B为任意常数)

Answer 2

y'' - 5y' + 4y = e^x + 4
特征方程 r^2-5r+4 = 0, r = 1, 4
设特解 y = Axe^x + 1， y' = A(x+1)e^x, y'' = A(x+2)e^x
代入微分方程 得 A = 1，特解 y = xe^x + 1
通解 y = C1e^x + C2e^(4x) + xe^x + 1