Question

求高人指点，为什么1/sinx积分是 ln|cscx-cotx|+C,具体的步骤是什么？

Answer 1

证明：

∫1/sinx dx

=∫1/[2sin(x/2)cos(x/2)] dx      两倍角公式

=∫1/[sin(x/2)cos(x/2)] d(x/2)

=∫1/tan(x/2)*sec²(x/2) d(x/2)

=∫1/tan(x/2) d[tan(x/2)],        [注∫sec²(x/2)d(x/2)=tan(x/2)+C]

=ln|tan(x/2)|+C

进一步化简:

=ln|sin(x/2)/cos(x/2)|+C

=ln|2sin(x/2)cos(x/2)/[2cos²(x/2)]|+C       凑出两倍角公式

=ln|sinx/(1+cosx)|+C

=ln|sinx(1-cosx)/sin²x|+C

=ln|(1-cosx)/sinx|+C

=ln|cscx-cotx|+C

用到常用不定积分：

1）∫0dx=c

2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c 

3）∫1/xdx=ln|x|+c 

4)∫a^xdx=(a^x)/lna+c 

5）∫e^xdx=e^x+c 

6）∫sinxdx=-cosx+c 

7）∫cosxdx=sinx+c 

8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c 

9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c 

10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c 

11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c 

12）∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c 

13）∫secxdx=ln|secx+tanx|+c 

14）∫1/(a^2+x^2)dx=1/a*arctan(x/a)+c 

15）∫1/√(a^2-x^2) dx=(1/a)*arcsin(x/a)+c 

16) ∫sec^2 x dx=tanx+c; 

17) ∫shx dx=chx+c; 

18) ∫chx dx=shx+c; 

19) ∫thx dx=ln(chx)+c

扩展资料：

半角公式：

sin(α/2)=±√[(1-cosα)/2]

cos(α/2)=±√[(1+cosα)/2]

tan(α/2)=±√[(1-sinα)/(1+sinα)]=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα=cscα-cotα 

二倍角公式：

sin2α = 2cosαsinα = 2tanα / （1 + tan²α）

cos2α = cos²α-sin²α=1-2sin²α=2cos²α－1

tan2α = 2tanα/[1 － (tanα)²]

参考资料：百度百科-不定积分

Answer 2

是这样来做的，
∫ (1/sinx)dx
=∫ (cscx)dx
=∫ cscx(cscx-cotx)/(cscx-cotx) dx
=∫ (csc²x-cscxcotx)/(cscx-cotx) dx 注意cscx的导数是 -cscxcotx，而 -cotx的导数是csc²x
=∫ 1/(cscx-cotx) d(cscx-cotx)
=ln|cscx-cotx|+C

或者可以这样来做
∫1/sinxdx
=∫sinx/sin²x dx
= -∫dcosx/(1-cos²x)
=1/2 ∫ [1/(cosx -1) - 1/(cosx +1)] dcosx
=1/2 ln|(cosx-1)/(cosx+1)|+C