Question

高等数学，线性代数，矩阵的初等变换问题，跪求高手指点，急急急急急急急急

已知A~B（行变换)，即A经过一系列初等行变换变为B则有可逆矩阵P,使得PA=B,那么如何去求这个可逆矩阵P?书本是这么说的：由于PA=B↔PA=B,PE=P↔P(A,E)=(B,P)↔(A,E)~(B,P),因此，如果对(A,E)做初等行变换，那么，当A变为B时候，E就变为P，这样就得到了所求的可逆矩阵P.我想说的是，书中说的可逆矩阵P是说P是A的可逆矩阵，还是说P不是A的逆矩阵，但是P是可逆的啊，到底是什么意思，还有PA=B,PE=P↔P(A,E)=(B,P)↔(A,E)~(B,P),这里，P(A,E)是什么意思啊，我知道(A,E)是增广矩阵，但是，P(A,E）是不是指的是两个矩阵相乘啊，为什么由PA=B,PE=P能得到P(A,E)=(B,P），还有最后P(A,E)=(B,P)↔(A,E)~(B,P),这个是如何转换的啊，求高手解答啊，特别是最后一句，“因此，如果对(A,E)做初等行变换，那么，当A变为B时候，E就变为P，这样就得到了所求的可逆矩阵P”这句话应该怎么理解啊，请高手指点，万分感激，求高手讲解详细一点啊，我的分昨天用完了，但是，我下次会给你补上，求高手帮助我一下啊，万分感激啊

Answer 1

对A实施一次初等行变换, 相当于左乘一个相应的初等矩阵
由于 A经行变换化为B, 则存在初等矩阵P1,P2,...,Pk
使得 P1P2...PkA = B
令P=P1P2...Pk, 则P可逆, 它是相应的初等矩阵的乘积, 不是A的逆矩阵

(A,E) 是分块矩阵, P(A,E) 是分块矩阵的乘法, P看作只有一个块分块矩阵
P(A,E) = (PA,PE) = (B,P)
亦即 P1P2...Pk(A,E) = (B,P)
这说明 对(A,E)作初等行变换, 当左子块化为B时, 右子块即所求的P

追问

1：令P=P1P2...Pk, 则P可逆,为什么可以判断P可逆，
2：(A,E) 是分块矩阵, P(A,E) 是分块矩阵的乘法, P看作只有一个块分块矩阵？？？高手能再解释一下这句话吗，我没有理解透你的这句话啊，

追答

P=P1P2...Pk, Pi都是初等矩阵, 初等矩阵是可逆矩阵, 可逆矩阵的乘积仍是可逆矩阵
所以P可逆.

P看作只有一个块的分块矩阵, 分块矩阵的定义及运算你看看书吧

Answer 2

可逆矩阵是指这个矩阵自己有逆矩阵，P(A,E)表示P去乘以A和E并起来的矩阵
因为P(A,E) =(PA,PE) = (B,P)啊