Question

若级数∑an与∑cn都收敛，且成立不等式

an≤bn≤cn(n=1，2，…)，证明级数∑bn也收敛，若∑an，∑cn都发散，试问∑bn一定发散吗?

Answer 1

【答案】：由于∑a_n，∑c_n收敛，可知∑(c_n-a_n)亦收敛，再由0≤b_n-a_n≤c_n-a_n知∑(b_n-a_n)收敛。
故∑b_n=∑(b_n-a_n)+∑a_n收敛
但当级数∑a_n，∑c_n都发散时，级数∑b_n不一定发散，例如∑a_n=∑(-3)，∑c_n=∑3都发散，若取b_n=1亦满足不等式
a_n＜b_n＜c_n而∑b_n=∑1是发散。