Question

数列{an}中a1+a2+a3+……+an=2^n-1,求a1^2+a2^2+a3^2+……+an^2

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Answer 1

a1+a2+a3+……+an=2^n-1
a1=1
a1+a2=4， a2=2
a1+a2+a3=8， a3=4
a1+a2+a3+a4=15， a4=8
a1+a2+a3+a4+a5=31，a5=16
数列{an}是等比数列，a1=1，q=2
设数列{Bn}中，b1=a1^2=1，b2=a2^2=a1^2×q^4=q^4，b3=a3^2=a1^2×q^8=q^6，..........bn=an^2=a1^2×q^2n
则数列{Bn}仍是等比数列，b1=1，Q=q^2=2^2=4
所以Sbn=a1^2+a2^2+a3^2+……+an^2
=b1×（1-Q^n)/(1-Q)=1×(1-4^n)/(1-4) = (4^n-1)/3
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