Question

已知数列{an}满足a(n+1)=an+2^n,且a1=1,求{an}通项公式

Answer 1

a(n+1)=an+2^n
=a(n-1)+2^n+2^(n-1)
=a(n-2)+2^n+2^(n-1)+2^(n-2)
=a1+2^n+2^(n-1)+2^(n-2)+......+2^3+2^2+1
=1+2^n+2^(n-1)+2^(n-2)+......+2^3+2^2+1
2^n+2^(n-1)+2^(n-2)+......+2^3+2^2+1=1×[1-2^(n+1)]/(1-2)=2^(n+1)-1
所以，a(n+1)=2^(n+1)-1+1=2^(n+1)
an=2^n
望采纳哈！

Answer 2

a(n+1)=an+2^n
a1=1
a2=a1+2=1+2
a3=a2+2^2=1+2+2^2
a4=a3+2^3=1+2+2^2+2^3
……
{an}通项公式=1+2+2^2+2^3+……+2^(n-1)

Answer 3

A(n+1)=An+2^n移项得到 A(n+1)-An=2^n
An-A(n-1)=2^(n-1)
A(n-1)-A(n-2)=2^(n-2)
.....
A3-A2=2^2
A2-A1=2^1
将上述等式左边相加A(n+1)-A1
将上述等式右边相加 2^1+2^2+...+2^n=2(2^n-1)
A(n+1)-A1=2(2^n-1)
所以A(n+1)=2^(n+1)-2+A1=2^(n+1)
所以An=2^n
在验证一下n=1，A1=2成立
所以An=2^n