Question

sinθ,cosθ是方程x2-(√3-1)x+m=0的两根，求1)m的值 2)(simθ/(1-cotθ))+(cosθ/(1-tanθ))

Answer 1

（1）根据韦达定理，sinθ+cosθ=√3-1，sinθcosθ=m
由sin²θ+cos²θ=(sin+cosθ)²-2sinθcosθ=(√3-1)²-2m=1
解得m=(3/2) -√3
（2）sinθ/(1-cotθ)=sinθ/(1-cosθ/sinθ)=sin²θ/(sinθ-cosθ)
cosθ/(1-tanθ)=cosθ/(1-sinθ/cosθ)=cos²θ/(cosθ-sinθ)
那么原式=sin²θ/(sinθ-cosθ) + cos²θ/(cosθ-sinθ)=(sin²θ-cos²θ)/(sinθ-cosθ)=sinθ+cosθ=√3-1

Answer 2

x2-(√3-1)x+m=0
sinθ+cosθ=√3-1
平方得
1+2sinθcosθ=4-2√3
sinθcosθ=3/2-√3
sinθcosθ=m
所以 m=3/2-√3

(sinθ/(1-cotθ))+(cosθ/(1-tanθ)
=sin²θ/(sinθ-cosθ)+cos²θ/(cosθ-sinθ)
=(sin²θ-cos²θ)/(sinθ-cosθ)
=sinθ+cosθ
=√3-1