Question

请问上限是兀，下限是0，xsinx/(1+(cosx)^2)dx的定积分怎么求？

Answer 1

解题过程如下：

扩展资料

求函数积分的方法：

如果一个函数f在某个区间上黎曼可积，并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零，那么它的勒贝格积分也大于等于零。

作为推论，如果两个  上的可积函数f和g相比，f（几乎）总是小于等于g，那么f的（勒贝格）积分也小于等于g的（勒贝格）积分。

函数的积分表示了函数在某个区域上的整体性质，改变函数某点的取值不会改变它的积分值。对于黎曼可积的函数，改变有限个点的取值，其积分不变。

对于勒贝格可积的函数，某个测度为0的集合上的函数值改变，不会影响它的积分值。如果两个函数几乎处处相同，那么它们的积分相同。如果对  中任意元素A，可积函数f在A上的积分总等于（大于等于）可积函数g在A上的积分，那么f几乎处处等于（大于等于）g。

如果在闭区间[a,b]上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值S，那么f在闭区间[a,b]上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限S。

设是函数f（x）的一个原函数，我们把函数f（x）的所有原函数F（x）+C（C为任意常数）叫做函数f（x）的不定积分，记作，即∫f（x）dx=F（x）+C。

其中∫叫做积分号，f（x）叫做被积函数，x叫做积分变量，f（x）dx叫做被积式，C叫做积分常数，求已知函数不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。

Answer 2

本题需先证明一个结论，这个在同济大学高等数学教材里定积的换元法部分有这个例子。里面的第二个结论是我们要用的。

有了这个结论本题就十分简单了，下面是过程。

Answer 3

解：为了解题方便，设M=∫<0,π>xsinxdx/(1+cos²x)
∵M=∫<0,π>xsinxdx/(1+cos²x)
=∫<π,0>(π-x)sin(π-x)d(π-x)/(1+cos²(π-x)) (用π-x代换x)
=-∫<π,0>(π-x)sinxdx/(1+cos²x) (应用诱导公式)
=∫<0,π>(π-x)sinxdx/(1+cos²x) (交换积分上下限)
=π∫<0,π>sinxdx/(1+cos²x)-∫<0,π>xsinxdx/(1+cos²x)
=-π∫<0,π>d(cosx)/(1+cos²x)-M
=-πarctan(cosx)│<0,π>-M
=-π(arctan(-1)-arctan(1))-M
=-π(-π/4-π/4)-M
=π²/2-M..........(1)
∴解方程(1)，得2M=π²/2
==>M=π²/4
故∫<0,π>xsinxdx/(1+cos²x)=π²/4。