Question

5.证明:没有正整数xy满足 x^2+y^2=2023？

Answer 1

要证明没有正整数 `x` 和 `y` 满足方程 `x^2 + y^2 = 2023`，我们可以尝试用反证法。
假设存在正整数 `x` 和 `y` 满足方程 `x^2 + y^2 = 2023`，我们假设其中 `x` 是最小的正整数。
首先，注意到 `x` 的平方只能是 `1` 或大于 `1` 的奇数。因此，我们可以得到以下两种情况：
**情况 1：** `x = 1`。
代入方程中，我们得到 `1 + y^2 = 2023`，然而这个方程没有正整数解。
**情况 2：** `x` 是大于 `1` 的奇数。
根据奇数的平方的性质，我们知道 `x^2` 是 `4` 的倍数加 `1`。因此，我们可以将方程转化为 `4k + 1 + y^2 = 2023` 的形式，其中 `k` 是一个非负整数。
简化方程，我们得到 `4k + y^2 = 2022`。观察左侧的方程，我们可以发现 `y^2` 是偶数，因为 `4k` 是偶数。
然而，我们知道偶数的平方的最后一位数字只能是 `0`、`4` 或 `6`。而 `2022` 的最后一位数字是 `2`，因此无法满足方程的右侧。
综上所述，不存在满足条件的正整数 `x` 和 `y`，使得方程 `x^2 + y^2 = 2023` 成立。