Question

高三数学，不会解了，学哥学姐们求教

已知函数f(x)=sin(π/4+x)sin(π/4-x)+√3sinxcosx，我化简的sin(π/6+2x), 让求在三角形ABC，若f(A/2)=1 求sinB+sinC的最大值

Answer 1

f(x)=sin(π/4+x)sin(π/4-x)+√3sinxcosx
=sin(π/4+x)cos(x+π/4)+√3sinxcosx
=(1/2)sin(π/2+2x)+√3sinxcosx
=(1/2)cos2x+√3/2sin2x
=sin(2x+π/6)
f(A/2)=sin(A+π/6)=1
A=π/3
sinB+sinC
=sin(2π/3-C)+sinC
=(√3/2)cosC-(1/2)sinC+sinC
=(√3/2)cosC+(1/2)sinC
=sin(C+π/3)
因为 0<C<2π/3
所以 π/3<C+π/3<π
所以最大值为1

Answer 2

f(A/2)=sin(A+π/6)=1。
而π/6<A+π/6<7π/6，所以A+π/6=π/2，即A=π/3。
B+C=2π/3，C=2π/3-B。
sinB+sinC
=sinB+sin(2π/3-B)
=sinB+(√3/2)cosB+(1/2)sinB
=√3[(√3/2)sinB+(1/2)cosB]
=√3sin(B+π/6)
当B+π/6=π/2，即B=C=π/3时，sinB+sinC的最大值为√3。

Answer 3

f(A/2)=1得求A =π/3,sinA=√3/2,cosA=1/2,
sinB+sinC=sin(180-A-C)＋sinC=sin(A+C)+sinC=√3/2cosC+3/2sinC=√3(1/2cosC+√3/2sinC)且0＜C<3π/2.
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(√3)