Question

多元函数问题。

一个二元函数在一个区域里面只有一个极值点，那么这个极值点必为该函数在该区域类的一个最大或最小值点。我记得一元函数里面也有一个类似的结论。那么这个结论正确吗？求证明过程。谢谢啦！！

Answer 1

正确。设a是f(x)的一个极大值点，且a是f(x)唯一的极值点，要证明a是最大值点。反证法：
设还有b使得f(b)>f(a)。在定义域中做一个包含a，b的有界闭区域D（这是可以做到的，画个几何图形很容易看出来存在，但要严格证明可能需要道路连通的知识）。连续函数f(x)在有界闭区域D上必有最小值，最小值点c必是f(x)在原来定义域上的极小值点。与唯一性矛盾。

追问

为什么f（x）在有界闭域上的最小值不可以在闭域的边界取得，如果是这样的话，这个最小值点就可以不是原定义域上的极小值点了。

追答

不好意思，你说的对。是我想错了。
反例：f(x,y)=x^2--3x^2y+y^2，定义域x^2+y^2<1。
可以证明（0,0）是唯一的极小值点，但函数的最小值不是0。实际上，最小值和最大值都在边界x^2+y^2=1上达到。也就是原来的开集上没有最小值和最大值。

追问

你举的函数在定义域类除了（0,0）这个点外还有一个极值点（√2/3,1/3），和题意只有一个极值点不符合。。

追答

写错了，是f(x，y)=x^2+y^2--0.5x^2y

Answer 2

正确，注意区域是单连通开区间。