Question

对角线相等的平行四边形一定是矩形吗？

Answer 1

是的，对角线相等的平行四边形一定是矩形。

在一个平行四边形中，如果两组对立边（即相对的边）相等，那么它是一个矩形。这意味着对角线相等是矩形的一个特性。

证明如下：

假设我们有一个平行四边形ABCD，其中对角线AC和BD相等。现在，我们需要证明这个平行四边形是一个矩形。

1. 首先，我们可以使用平行四边形的性质：对立边平行且相等。由于平行四边形的定义，AB || CD 且 AB = CD，以及 AD || BC 且 AD = BC。

2. 接下来，我们考虑三角形ABC和ACD。这两个三角形有一边相等，即AC，还有一边平行，即AB || CD。根据三角形的性质，这表明这两个三角形是全等三角形（SSS准则或SAS准则）。

3. 当两个三角形全等时，它们的对应角也相等。因此，∠CAB = ∠CDA，同时，∠ABC = ∠DAC。

4. 由于∠CAB + ∠ABC = 180°，以及∠CDA + ∠DAC = 180°（平行四边形内角和等于180°），我们得出∠CAB + ∠ABC = ∠CDA + ∠DAC。

5. 由于∠CAB = ∠CDA，我们可以将它们消去，得出∠ABC = ∠DAC。

6. 然而，由于AB || CD，∠ABC和∠DAC是同位角，同位角相等意味着AB与CD之间的对应角也相等。因此，∠ABC = ∠DAC 表示∠ABC和∠DAC是同位角。

7. 由于同位角是平行线切割的两条平行线的对应角，当同位角相等时，这两条平行线之间的对应线段相等。因此，BC = AD。

8. 现在我们已经证明了四边形ABCD的对立边相等，即AB = CD和BC = AD。因此，根据矩形的定义，ABCD是一个矩形。

因此，我们

可以得出结论：对角线相等的平行四边形一定是矩形。

Answer 2

对！

因为在平行四边形ABCD中，邻角互补、对边相等，所以∠ABC+∠DCB=180°，AB=DC。

如果这个平行四边形的对角线AC与BD相等，则△ABC≌△DCB（因为它们的对应边分别相等）。所以，

∠ABC=∠DCB，

这两个角互补又相等，所以，∠ABC和∠DCB都是直角（进一步可知，另外两个角也都是直角）。

这样，就证明了这个平行四边形是矩形。