Question

设X=0是函数f(x)=(x^2+ax+b)e^x的一个极值点.求a与b的关系式,并求f(x)的单调区间

同上

Answer 1

f'(x)=(2x+a)e^x+(x^2+ax+b)e^x
f'(0)=a+b=0
a=-b
f'(x)=(2x+a+x^2+ax-a)e^x=x[x+(a+2)]e^x
当a=-2时，f(x)在R上单调递增
当a>-2时，f(x)在(-a-2,0)上单调递减，在(-∞,-a-2)∪(0,+∞)上单调递增
当a<-2时，f(x)在(0,-a-2)上单调递减，在(-∞,0)∪(-a-2,+∞)上单调递增

Answer 2

f(x)=(x^2+ax+b)e^x
求导
f'(x)=(2x+a)e^x+(x^2+ax+b)e^x
=[x^2+(a+2)x+(a+b)]e^x
X=0是一个极值点.
f'(0)=a+b=0
a b 互为相反数
b=-a带入得
f'(x)=[x^2+(a+2)x]e^x
=x(x+a+2)e^x
当 a+2>0 a>-2时
单增区间为 (0,正无穷)和(负无穷，-a-2)
单减区间为 (-a-2,0)
当 a+2=0时 f'(x)≥0恒成立
在定义域上是单调递增的
当 a+2<0时
单增区间为 (-a-2,正无穷)和(负无穷，0)
单调减区间为 (0,-a-2)

Answer 3

f'(x)=(2x+a+x^2+ax+b)e^x,
f'(0)=a+b=0,b=-a.
∴f(x)=x(x+2+a)e^x,
a=-2时f'(x)=x^2*e^x>=0,f(x)↑；
a>-2时-2-a<x<0时f'(x)<0,f(x)↓，其他f(x)↑；
a<-2时0<x<-2-a时f'(x)<0,f(x)↓，其他f(x)↑。

Answer 4

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