(2/2)整数K,使an=根号下(k-1)+根号下k 30
1个回答
展开全部
在第一问的基础上作答
证明：还是采用数学归纳法
（1）当n=1时，an=1+√2=a+b√2 =√a²+√(2b²) （a、b∈Z）
对应得到a=1，为奇数，b=1，有2b²-a²=2-1=1
（2）假设n=m (m∈N*)时，
am=(1+√2)^m=a+b√2，(a、b∈Z)，
=√a²+√(2b²) 2b²=a²+1=k(m) 为整数 (m为下角标)
=√[k(m)-1]+√k(m)
（3）n=m+1时，a(m+1)=(1+√2)^(k+1)=a' + b'√2
得到a+2b+(a+b)√2=a'+ b'√2=√a'²+√2b'²
对应得到 a'²=(a+2b)²，2b'²=2(a+b)²，
2b'² - a'² =a² - 2b²=-1
得到k(m+1)=2b'²=2(a+b)²为整数
（4）综上：存在正整数K,使an=根号下(k-1)+根号下k
证明：还是采用数学归纳法
（1）当n=1时，an=1+√2=a+b√2 =√a²+√(2b²) （a、b∈Z）
对应得到a=1，为奇数，b=1，有2b²-a²=2-1=1
（2）假设n=m (m∈N*)时，
am=(1+√2)^m=a+b√2，(a、b∈Z)，
=√a²+√(2b²) 2b²=a²+1=k(m) 为整数 (m为下角标)
=√[k(m)-1]+√k(m)
（3）n=m+1时，a(m+1)=(1+√2)^(k+1)=a' + b'√2
得到a+2b+(a+b)√2=a'+ b'√2=√a'²+√2b'²
对应得到 a'²=(a+2b)²，2b'²=2(a+b)²，
2b'² - a'² =a² - 2b²=-1
得到k(m+1)=2b'²=2(a+b)²为整数
（4）综上：存在正整数K,使an=根号下(k-1)+根号下k
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是？
推荐律师服务：
若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询
