Question

如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O事AC边上的一点，连接BO交AD于点F，OE⊥OB交BC于点E.

请回答以下问题：
（1）试说明：△ABF∽△COE；
（2）当O为AC边的中点，且AC：AB=2时，如图2，求OF：OE的值；
（3）当O为AC边的中点，且AC：AB=n时，请直接写出OF：OE的值.

Answer 1

（1）∵AD⊥BC
∴∠DAC+∠C=90度
∵∠BAC=90°
∴∠BAF=∠C
∵OE⊥OB
∴∠BOA+∠COE=90°
∵∠BOA+∠ABF=90°
∴∠ABF=∠COE
∴△ABF∽△COE 。
（2）作OG⊥AC，交AD的延长线于G
∵AC=2AB，O是AC边的中点
∴AB=OC=OA
由（1）△ABF∽△COE
∴△ABF≌△COE，
∴BF=OE。
（3）解法1：
∵∠BAD+∠DAC=90°， ∠DAB+∠ABD=90°
∴∠DAC=∠ABD
又∠BAC=∠AOG=90°， AB=OA
∴△ABC≌△OAG
∴OG=AC=2AB
∵OG⊥OA
∴AB∥OG
∴△ABF∽△GOF
∴ OF/BF=OG/AB
OF/OE=OF/BF=OG/AB=2。
（3）解法2：
过O作AC垂线并交BC于H
∵∠AFB=∠OEC
∴∠AFO=∠HEO
∵∠BAF=∠ECO
∴∠FAO=∠EHO
∴△OEH∽△OFA
∴OF：OE=OA：OH=2：1
故 OF：OE=2

Answer 2

（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠DAC+∠C=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠BAF=∠C．
∵OE⊥OB，
∴∠BOA+∠COE=90°，
∵∠BOA+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠COE．
∴△ABF∽△COE．

（2）解：过O作AC垂线交BC于H，
由（1）得∠ABF=∠COE，∠BAF=∠C．
∴∠AFB=∠OEC，
∴∠AFO=∠HEO，
而∠BAF=∠C，
∴∠FAO=∠EHO，
∴△OEH∽△OFA，
∴OF：OE=OA：OH
又∵O为AC的中点，
∴OH为△ABC的中位线，
∴OH=12AB，OA=OC=12AC，
而ACAB=2，
∴OA：OH=2：1，
∴OF：OE=2；

（3）解：OFOE=n