Question

定义在R上的奇函数f(x)在（0，+∞）上是增函数

（1）判断此函数f(x)在区间（-∞，0）上的单调性，并加以证明
（2）函数f(x)在R上是否为增函数？说明你的理由

Answer 1

(1)设x1<x2<0，则0<-x2<-x1。
若f(x)在(0,+∞)是增函数，则f(-x1)>f(-x2)。
因为f(x)是奇函数，所以-f(x1)>-f(x2)，即f(x1)<f(x2)，f(x)在区间(-∞,0)是增函数。
(2)函数f(x)在R上未必为增函数。
如f(x)={0(x=0)，1/x(x<>0)}是奇函数，且在区间(0,+∞)和(-∞,0)是增函数，但在R上不是增函数。