Question

在多元函数中偏导数存在但不连续，怎么理解？

Answer 1

在多元函数中，若一个函数在某点处的偏导数都存在，那么该函数在该点处可能可微，但是是否可微还需要根据函数在该点处的连续性来分析。下面是偏导数存在、可微和连续之间的关系：

• 偏导数存在，但不连续时，函数不可微。

即使一个函数在某点处各个偏导数都存在，但如果函数在该点处不连续，那么该函数在该点处不可微。这是因为连续性是函数可微的必要条件之一，如果函数在该点处不连续，说明函数在该点附近发生了较大的波动，导致函数的变化率不连续，因此函数在该点处不可微。

• 连续，但偏导数不连续时，函数不一定可微。

如果一个函数在某点处连续，但某个偏导数不存在或者不连续，那么该函数在该点处不一定可微。这是因为可微性不仅仅取决于函数的连续性，还需要函数在该点附近有充分的光滑性，即偏导数的连续性。如果某个偏导数不存在或者不连续，说明函数在该方向上的变化率没有充分的光滑性，导致函数在该点处不可微。

• 偏导数连续时，函数可微。

如果一个函数在某点处各个偏导数都存在且连续，那么该函数在该点处一定可微。这是因为偏导数连续保证了函数在更小的邻域内具有一定的光滑性，使得函数在该点处可以用一个线性函数比较好地逼近原函数，从而函数在该点处可微。

综上所述，偏导数的存在只是函数可微的充要条件之一，除了偏导数的连续性，还需要函数在该点处有连续性，才能得出函数在该点处可微的结论。