Question

已知公差大于零的等差数列{an}的前n项为Sn,且满足a3*a4=117,a2+a5=22.

1.求通项公式an;2.求Sn的最小值；3.若数列{bn}是等差数列，且bn=Sn/n+c,求非零常数c.

Answer 1

1.
a2+a5=a3+a4=22
a3*a4=117
a3、a4是方程x^2-22x+117=0的根，
x1=9、x2=13
所以a3=9、a4=13(因a4＞a3)
d=a4-a3=4
a1=a3-2d=9-8=1
an=1+4(n-1)=4n-3;

2.
an=1+4(n-1)=4n-3
Sn=4n(n+1)/2-3n=2n^2-n
因d＞0，所以Sn单调递增，所以S1最大=a1=1;

3.
方法一：
bn=Sn/(n+c)
=(2n^2-n)/(n+c)
=n(2n-1)/(n+c)
b(n-1)=(n-1)(2n-3)/(n-1+c)
d=bn-b(n-1)
=n(2n-1)/(n+c)-(n-1)(2n-3)/(n-1+c)
=(2n^2-n)/(n+c)-(2n^2-5n+3)/(n-1+c)
(n+c)(n-1+c)d=(2n^2-n)(n-1+c)-(2n^2-5n+3)(n+c)
(n^2-n+2cn-c+c^2)d=2n^2+4cn-2n-3c
(d-2)n^2+(2c-1)(d-2)n+c(-d+dc+3)=0
要使上式恒成立，则
d-2=0，(2c-1)(d-2)=0,c(-d+dc+3)=0
d=2，(2c+1)c=0
所以d=2,c=-1/2 ；

方法二：
因等差数列可表示成kn+e的形式，k、e为常数，所以
bn=Sn/(n+c)
=(2n^2-n)/(n+c)
=kn+e
2n^2-n=(n+c)(kn+e)=kn^2+(ck+e)n+ce
(k-2)n^2+(ck+e+1)n+ce=0
要使上式恒成立，则
k-2=0,ck+e+1=0,ce=0
k=2,ck+e+1=0,e=0
k=2,2c+1=0,e=0
c=-1/2.

Answer 2

1.a2+a5=a3+a4=22
a3×a4=117
则，a3-a4= -√(a3+a4)^2-4a3a4(因为公差大于零的等差数列，a3-a4＜0)
= -√22^2-4×117
=-4
所以，a3=9，a4=13
d=a4-a3=13-9=4，a1=a3-2d=9-2×4=1
所以，an=1+4×（n-1）=4n-3

2.sn=（a1+an）n/2=n×（2n-1）
最小值，n=1时，sn=1

3.bn=Sn/（n+c）
b1=1/（1+c）
b2=2×（2×2-1）/（2+c）= 6/（2+c）
b3=3×（2×3-1）/（3+c）= 15/（3+c）
数列{bn}是等差数列，所以，2b2=b1+b3
2×6/（2+c）=[1/（1+c）]+[15/（3+c）]，方程式两边同时乘以(1+c)(2+c)(3+c)
12(1+c)(3+c)=(2+c)(3+c)+15(1+c)(2+c)
12+48c+12c^2=6+5c+c^2+30+45c+15c^2，化简
2c(c+1)=0
c=0（c是非零常数，改根舍去）c= -1
望采纳哈！