Question

2x^2+4xy+4y^2-2x+4y+1(x,y∈R)+的最小值是()。+()？

Answer 1

首先我们注意到这是一个二元二次函数，我们可以通过求偏导数的方式来求取该函数的最小值。
对于该函数，我们依次对它的两个变量求偏导数：
∂f/∂x = 4x + 4y - 2
∂f/∂y = 4x + 8y + 4
令它们都等于0，有：
4x + 4y - 2 = 0
4x + 8y + 4 = 0
解得：
x = -1/2
y = -3/4
将x, y带回原函数中：
f(-1/2, -3/4) = 2*(1/2)^2 + 4*(-1/2)(-3/4) + 4(3/4)^2 - 2*(-1/2) + 4*(-3/4) + 1
= 1/8 - 6/8 + 9/8 + 1 + (-3) + 1
= 2/8
= 1/4
因此，该函数在点(-1/2, -3/4)处取得最小值1/4。

Answer 2

原式=2x^2+(4y-2)x+4y^2+4y+1
=2[x+(2y-1)/2]^2+2y^2+6y+1/2
=2[x+(2y-1)/2]^2+2(y+3/2)^2-4,
当y=-3/2,x=2时它取最小值-4.