Question

这题用基本不等式，该如何解决？

Answer 1

(2m-3n)^2+(m+2n)(m-2n)=4m^2-12mn+9n^2+m^2-4n^2=5m^2+5n^2-12mn
=5(2+mn)-12mn=10-7mn,
因为2+mn=m^2+n^2≥2mn,
得-mn≥-2，
则10-7mn≥10-17=-4，即最小值=-4
题目是最大值，用万能设k法，设10-7mn=k,
得n=(10-k)/7m,
代入得m^2+(10-k)^2/49m^2-(10-k)/7-2=0
整理49m^4-7(24-k)m^2+(10-k)^2=0,
m存在实数解，m^2存在实数解，
得判别式=49（24-k）^2-4*49*(10-k)^2
=49（44-3k）(4+k)≥0，
即（3k-44）(k+4)≤0，
所以-4≤k≤44/3,
故10-mn最大值为44/3.

Answer 2

(2m-3n)^2+(m+2n)(m-2n)
=4m^2-12mn+9n^2+m^2-4n^2
=5m^2+5n^2-12mn
=5(2+mn)-12mn
=10-7mn,
由-2mn≤m^2+n^2=2+mn,得
-3mn≤2,
所以-7mn≤14/3,
原式≤10+14/3=44/3，当m=-n,n=√(2/3)时取等号，
所以所求的最大值是44/3.