Question

求曲线积分∫（x^2+y)dx-(x+sin^2y)dy,其中L是圆周y=根号下2x-x^2上由点（0,0）到（2,0）上一段

Answer 1

自行画图
补线段L1：y=0，x从2到0，这样L+L1构成封闭曲线，可以使用格林公式，注意本封闭曲线为顺时针旋转，与格林公式中的逆时针不符，所以用格林公式时要多加一个负号。
∮(x^2+y)dx-(x+sin^2y)dy
=∫∫(1+1)dxdy
=2∫∫1dxdy
被积函数为1，积分结果为区域面积，该区域是一个半圆，面积为：(1/2)πr²=π/2
=π (1)
下面将补的那条线段上的积分减出去。
∫(x^2+y)dx-(x+sin^2y)dy 积分曲线为L1：y=0，x从2到0
=∫[2--->0] x²dx
=(1/3)x³ [2--->0]
=-8/3 (2)
因此本题最终结果为：(1)-(2)
π+8/3

Answer 2

简单的方法是用格林公式：做线段将半圆补全，方向由（2,0）到（0,0）上一直线段。这样积分区间就构成了一个封闭空间，然后根据格林公式计算。最后计算单独的直线区间积分就可以了。符号太多 不好打字