Question

高中解析几何

1. 设椭圆C：x^2/a^2+y^2/2=1(a＞0)的左右焦点分别为F1、F2，A是椭圆C上的一点，

且向量AF1·向量F1F2=0，坐标原点O到直线AF1的距离为1/3向量OF1.

（1）求椭圆C的方程

（2）设Q是椭圆C上的一点，过点Q的直线l交x轴于点F（-1，0），交y轴于点M，

若向量MQ的模=2向量QF的模，求直线l的斜率

Answer 1

解 ①：因为向量AF2*向量F1F2=0，所以AF2⊥F1F2。又做ON⊥AF1，

坐标原点O到直线AF1的距离为1/3丨OF1丨，所以ON/OF1=1/3.

又∵ONF1∽AF2F1,∴AF2/F1F2=ON/OF1. 又∵ AF2⊥F1F2，令A为（x,y),∴AF2=y,F1F2=2√a

有等式：ON/OF1=1/2√2=y/2√a ,∴y=√2a)/2

又∵x=√a,∴A为[√（a^2-2),(√2a)/2],带入原方程, 得到：a^3=8,∴a=2(a＞0)

所以椭圆C的方程为:x^2/4+y^2/2=1

②. 因为丨向量MQ丨=2丨向量QF丨， 所以点F是线段MQ的中点

令点Q为(x,y)-2 , ∴x=-2 ， 把点Q带入在椭圆得 y=0 ， 所以点Q的坐标为（-2.0)在x轴上

所以直线l的斜率k=0

Answer 2

由条件可知 F1F2垂直AF2
设O到AF1的距离为OH
由三角形F1OH相似于三角形AF2F1知
AF2/AF1=1/3
AF2+AF1=2a
AF2=a/2
故（c,+-a/2)在椭圆上代入可得
a^2=4
x^2/4+y^2/2=1
设l为y=k(x+1)
则与y轴交点为M(0,k)
设Q(x1,y1)
QM^2=x1^2+(y1-k)^2
QF^2=(x1+1)^2+y1^2
QM^2/QF^2=4
x1=-1,1/3
代入可得k

追问

谢谢