Question

已知函数f(x)等于负x3次方加ax平方加bx加c的图像上点p(1，负2)处的切线方程为y等于负3x加1。求f(x)等于负2

已知函数f(x)等于负x3次方加ax平方加bx加c的图像上点p(1，负2)处的切线方程为y等于负3x加1。求f(x)等于负2时有极值，求f(x)的表达式

Answer 1

由y=f（x）=-x³+ax²+bx+c，
（1）令y′=-3x²+2ax+b=0，
由x=-2函数有极值，
∴-12-4a+b=0.①
（2）由P（1，-2）处斜率为-3，
∴当x=1时，y′=-3，
得：-3=-3+2a+b，
即2a+b=0②
（3）由①和②，得a=-2，b=4.
∴f（x）=-x³-2x²+4x+c。
由x=1时，y=-2,时c=-3.
即f（x）=-x³-2x²+4x-3.

Answer 2

解：
f(x)=-x^3+ax^2+bx+c
f'(x)=-3x^2+2ax+b
点p(1，-2)处的切线方程为
y=-3x+1
知f'(1)=-3+2a+b=-3，即 2a+b=0 （1）
f(1)=-1+a-b+c=-2 即 a-b+c=-1 (2） （曲线过点（1，-2））
又x=-2时有极值
即f'(2)=--12-4a+b=0 即b-4a=12 (3)
由 （1）（2）（3）得
a=-2 , b=4 , c=5
所以 f(x)=-x^3-2x^2+4x+5