Question

在等差数列{an}和{bn}中，已知Sn/Tn=(7n+45)/(n+3),且an/b2n是整数。求n.

Sn和Tn分别是两个数列的前N项的和

Answer 1

因为等差数列前n项和为Sn=na1+n(n-1)d/2
=d/2*n^2+(a1-d/2)*n
所以可知等差数列前n项和是关于n的二次函数，且不含常数项。
因为Sn/Tn=(7n+45)/(n+3),
所以可设Sn=kn(7n+45)， Tn=kn(n+3),其中k为常数。

所以an =Sn-S(n-1) =kn(7n+45)-k(n-1)(7n+38)
=k(14n+38),
bn= Tn-T(n-1) = kn(n+3)- k(n-1) (n+2)
= k(2n+2),
则b2n= k(4n+2),

an/b2n=[ k(14n+38)]/[ k(4n+2)]
=(14n+38)/[(4n+2)
=(7n+19)/(2n+1)
=3+(n+16)/ (2n+1)
所以n=15时，an/b2n=4是整数。

下面是一道类似的题目：
an,bn数列的前n项和分别为Sn,Tn且满足Sn/Tn=(7n+45)/(n-3),则使得an/bn为整数的正整数n的个数是多少
【解】
因为Sn/Tn=7n+45/n-3，
所以S(2n-1)/T(2n-1)=(14n+38)/(2n-4)=(7n+19)/(n-2)
又S(2n-1)/T(2n-1)={(2n-1) [A(2n-1)+A1]/2}/{(2n-1) [B(2n-1)+B1] /2}
=[A(2n-1)+A1]/[B(2n-1)+B1]=An/Bn
所以An/Bn=(7n+19)/(n-2)=7+33/(n-2)
只有n-2=-1、1、3、11、33时An/Bn才为正整数。
此时n=1、3、5、13、35.共5个值。