Question

如何理解极坐标下的二重积分？

Answer 1

就是用r,θ变量替换x，y。

1.极坐标系二重积分对求解圆区域、带根号的区域、被积函数有x²+y²类似形式的二重积分有很好的简化效果。计算更加简便。

2.在极坐标下，x=rcosθ ,y=rsinθ, x²+y²=r²。

3.标准公式：∫∫R f(x,y)dxdy = ∫∫R  f(rcosθ,rsinθ) *r dr dθ.

3.2:如何转化：通常根据积分区域不同，分为两种，r simple set 和 θ simple set.绝大多数情况下，都是θ是 simple set 的情况。以下主要讲该种情况。

θ simple set，把r的取值范围用θ来表示

在θ simple set情况下，内层积分上下限为r的取值范围（用来表示），外层积分上下限为θ角度取值范围。以下为一个示例：

选自公众号“数学只若如初见”

Answer 2

可以先用微元法得到二重积分，然后将 ρ,θ看做新的变量X与Y，再利用直角坐标系来计算可以得到二次积分的表达式，这个应该好理解些吧。

之所以极坐标在计算二重积分时有不同的原因是在同一个dθ上面积不是均匀分布的，这也是为什么会与直角坐标系有区别的原因。

在极坐标中

在极坐标系下计算二重积分，需将被积函数f（x，y），积分区域D以及面积元素dσ都用极坐标表示。函数f（x，y）的极坐标形式为f（rcosθ，rsinθ）。

为得到极坐标下的面积元素dσ的转换，用坐标曲线网去分割D，即用以r=a，即O为圆心r为半径的圆和以θ=b，O为起点的射线去无穷分割D，设Δσ就是r到r+dr和从θ到θ+dθ的小区域。