最小多项式(minimal polynomial)是代数数论的基本概念之一。由Cayley-Hamilton定理，A的特征多项式是A的零化多项式，而在A的零化多项式中，次数最低的首一多项式称为A的最小多项式。
最小多项式的求解方法
方法：
1、先将A的特征多项式
在P中作标准分解，找到A的全部特征值
的因式按次数从低到高的顺序进行检测，第一个能零化A的多项式就是最小多项式。
例：
的最小多项式。
解：A的特征多项式为：
又
故A的最小多项式为
扩展资料
特征多项式的解法
1、把|λE-A|的各行（或各列）加起来，若相等，则把相等的部分提出来（一次因式）后，剩下的部分是二次多项式，肯定可以分解因式。
2、把|λE-A|的某一行（或某一列）中不含λ的两个元素之一化为零，往往会出现公因子，提出来，剩下的又是一二次多项式。
3、试根法分解因式。
方法一：
（1）先将A的特征多项式f（y）在P中作标准分解，找到A的全部特征值 
（2）对f（y）的标准分解式中含有 
方法二：
设A是n级复数矩阵，则A的最小多项式 g（y）是A的最后一个不变因子 
先求出所有的特征值及其代数重数，假定不同特征值为c1,c2...,ck,那么最小多项式一定是p(x)=(x-c1)^a1(x-λ2)^a2...(x-λk)^ak的形式，关键在于定次数。其中指数ai≤特征值ci的重数。
对于单特征值ci，那么对应的指数就是ai=1。
对于重特征值ci，去求它的广义特征向量，也就是说解(ciI-A)^mx=0，m从1开始向上增加，直到(ciI-A)^mx=0线性无关的解的个数和特征值的重数相同，那么ai=m。
换句话说。就是使得(ciI-A)^mx=0线性无关的解的个数和特征值的重数相同的最小的m／
设D（n-1）（λ）为行列式det（λI-A）=Dn（λ）的（n-1）阶因子，则最小多项式=Dn（λ）/D（n-1）（λ）；
将A变换成为Jordan标准式，是求解最小多项式的标准方法。此时，ai是ci非零子块的最大阶数。
扩展资料：
设 
性质：
①A的最小多项式是唯一的。
②设 
③A的最小多项式 
④A的最小多项式 
⑤相似的方阵阵具有相同的最小多项式。
⑥r级Jordan块 
设A是n级复数矩阵，则A的最小多项式 g（y）是A的最后一个不变因子 
对于单特征值ci，那么对应的指数就是ai=1。
对于重特征值ci，去求它的广义特征向量，也就是说解(ciI-A)^mx=0，m从1开始向上增加，直到(ciI-A)^mx=0线性无关的解的个数和特征值的重数相同，那么ai=m。
换句话说。就是使得(ciI-A)^mx=0线性无关的解的个数和特征值的重数相同的最小的m／
设D（n-1）（λ）为行列式det（λI-A）=Dn（λ）的（n-1）阶因子，则最小多项=Dn（λ）/D（n-1）（λ）；将A变换成为Jordan标准式，是求解最小多项式的标准方法。此时，ai是ci非零子块的最大阶数。
扩展资料
多项式的排列的题时注意：
1、由于单项式的项包括它前面的性质符号，因此在排列时，仍需把每一项的性质符看作是这一项的一部分，一起移动。
2、有两个或两个以上字母的多项式，排列时，要注意:a.先确认按照哪个字母的指数来排列。确定按这个字母降幂排列，还是升幂排列。
3、几个单项式的和叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。一个多项式有几项就叫做几项式。
4、多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。
5、多项式的排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列；把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。
首先要我们要知道什么是零化多项式。设A是n*n的矩阵，f(λ)是多项式。如果有f(A)=O，则称f(λ)为A的零化多项式。在A的零化多项式中，次数最低的首一（首项系数=1）多项式称为的最小多项式，记为mA(λ)。
最小多项式的性质有以下几条：1.矩阵的最小多项式因式是特征多项式的因式。2. 应包含的所有互不相同的特征值。3.相似矩阵具有相同的最小多项式。
既然“矩阵的最小多项式因式是特征多项式的因式”，可以从特征多项式出发，求最小多项式。
先求出所有的特征值及其代数重数.假定不同特征值为c1,c2...,ck,那么最小多项式一定是
p(x)=(x-c1)^a1(x-λ2)^a2...(x-λk)^ak
的形式,关键在于定次数.其中指数ai≤特征值ci的重数。
对于单特征值ci,那么对应的指数就是ai=1.
对于重特征值ci,去求它的广义特征向量,也就是说解(ciI-A)^mx=0,m从1开始向上增加,直到(ciI-A)^mx=0线性无关的解的个数和特征值的重数相同,那么ai=m.换句话说,就是使得(ciI-A)^mx=0线性无关的解的个数和特征值的重数相同的最小的m.
设D（n-1）（λ）为行列式det（λI-A）=Dn（λ）的（n-1）阶因子，则最小多项式=
Dn（λ）/D（n-1）（λ）；
将A变换成为Jordan标准式，是求解最小多项式的标准方法。此时，ai是ci非零子块的最大阶数。
