Question

已知函数f(x)=inx+ax+1。(1)若f(x)在(0，2)为增函数，求a范围。(2)求f(x)在(0，2]上的最大值M(a)

Answer 1

f(x)=lnx+ax+1(x>0)，f'(x)=1/x+a=(1+ax)/x。
(1)若f'(x)>0，则1+ax>0。
1+ax>0在区间(0,2)上成立，则1+a*0>=0且1+a*2>=0，解得：a>=-1/2。
(2)由(1)可知，a>=-1/2时，f(x)在区间(0,2]上递增，则M(a)=f(2)=2a+ln2+1。
若a<-1/2，则-a>1/2，0<-1/a<2。
1+ax>0，则x<-1/a；1+ax<0，x>-1/a。f(x)在x=-1/a处取得极大值(也是最大值)。
此时，M(a)=f(-1/a)=ln(-1/a)=-ln(-a)。
所以，M(a)={-ln(-a)(a<-1/2)，2a+ln2+1(a>=-1/2)}。