已知函数f(x)=inx+ax+1。(1)若f(x)在(0,2)为增函数,求a范围。(2)求f(x)在(0,2]上的最大值M(a)

易冷松RX
2012-03-29 · TA获得超过2万个赞
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f(x)=lnx+ax+1(x>0),f'(x)=1/x+a=(1+ax)/x。
(1)若f'(x)>0,则1+ax>0。
1+ax>0在区间(0,2)上成立,则1+a*0>=0且1+a*2>=0,解得:a>=-1/2。
(2)由(1)可知,a>=-1/2时,f(x)在区间(0,2]上递增,则M(a)=f(2)=2a+ln2+1。
若a<-1/2,则-a>1/2,0<-1/a<2。
1+ax>0,则x<-1/a;1+ax<0,x>-1/a。f(x)在x=-1/a处取得极大值(也是最大值)。
此时,M(a)=f(-1/a)=ln(-1/a)=-ln(-a)。
所以,M(a)={-ln(-a)(a<-1/2),2a+ln2+1(a>=-1/2)}。
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