Question

如何判断抛物线与直线的交点？

Answer 1

1、 抛物线y=ax2+bx+c与直线y=m（坐标系中的水平直线）的交点问题： ①把y=m代入y=ax2+bx+c得ax2+bx+c=m，即ax2+bx+（c-m）=0
此时方程的判别式△=b2-4a(c-m)。
△＞0，则抛物线y=ax2+bx+c与直线y=m有两个交点； △=0时有一个交点； △＜0时无交点。 ②特殊情形：
抛物线y=ax2+bx+c与直线y=0（x轴）的交点问题： 令y=0，则ax2+bx+c=0
此时方程的判别式△=b2-4ac
△＞0，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点； △=0时有一个交点； △＜0时无交点。
2、抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+b的交点问题： 令ax2+bx+c=kx+b，整理方程得：ax2+(b-k)x+（c-b）=0 此时方程的判别式△=(b-k)2-4a（c-b）
△＞0，则抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+b有两个交点； △=0时有一个交点； △＜0时无交点。
总结：判别式△的值决定抛物线与直线的交点个数。
3、 抛物线y=ax2+bx+c与直线y=0（x轴）的交点位置问题：
若ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为（x1，0）、（x2，0） ① 若x1x2＞0、x1+x2＞0，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点在原点右侧 ② 若x1x2＞0、x1+x2＜0，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点在原点左侧 ③ 若x1x2＜0，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点分居于原点两侧