Question

如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为实数, a≠0)的图象过点C(t,2),且与x轴交于A,B两点，若AC⊥BC

如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为实数, a≠0)的图象过点C(t,2),且与x轴交于A,B两点，若AC⊥BC，则a的值为_______.求过程

Answer 1

解：当b²-4ac＞0时，抛物线与x轴交于A（x1,0), B(x2,0) ,且x1+x2=-b/a, x1x2=c/a, 过C作CD⊥x轴于D，AC⊥BC，所以CD²=AD.BD，AD=t-x1,BD=x2-t，所以4=-（x1x2)+(x1+x2)t-t²=-c/a-b/at-t²。即4a=-(at²+bt+c），因为C（t,2)是抛物线上的点，所以at²+bt+c=2， 所以a=-1/2.。

Answer 2

a=-1/2
设A（x，0）为左边的交点，则B为（-x-b/a,0）AC=(t-x,2),BC=(t+x+b/a,2)代入AC*BC=0化简，得
at2+bt+4a=ax2+bx;由于A点C点在抛物线上满足故0=ax2+bx+c,2=at2+bt+c代入后化简的a=-1/2