Question

高等数学中值定理，需要做辅助函数

Answer 1

1、令F(x)=f(a)g(x)--g(a)f(x)，则F'(x)=f(a)g'(x)--g(a)f'(x)，对F用中值定理，存在c位于（a，b），使得F(b)--F(a)=(b--a)F'(c)，此为要证等式。
2、Taylor展式，记c=(a+b)/2，则
f(b)=f(c)+f'(c)(b--c)+f''(a1)/2*(b-c)^2=f(c)+f'(c)(b-a)/2+f''(a1)/2*(b--a)^2/4;
f(a)=f(c)+f'(c)(a--c)+f''(a2)/2*(a--c)^2=f(c)-f'(c)(b-a)/2+f''(a2)/2*(b--a)^2/4:
两式相加移项得f(b)+f(a)--2f(c)=(b--a)^2/4*【f''(a1)+f''(a2)】/2=f''(kessa)*(b-a)^2/4。
其中f''(kessa)=【f''(a1)+f''(a2)】/2是由介值定理可知能找到kessa使得等式成立。
3、先对f(x)和1/x用Cauchy中值定理得存在yita使得【f(b)--f(a)】/(1/b--1/a)=f'(yita)/(--1/yita^2)
再对f(x)用Lagrange中值定理得f(b)--f(a)=(b--a)f'(kessa)，两式比较得
(b--a)f'(kessa)=yita^2*f'(yita)*(b--a)/ab，化简得结果。

Answer 2

1.F(x)=f(a)g(x)-g(a)f(x)应用中值定理就可以了。
2.记(a+b)/2=c b-c=c-a
f(b)=f(c)+f′(c)(b-c)+f″(ξ1)(b-c)²/2
f(a)=f(c)+f′(c)(c-a)+f″(ξ2)(c-a)²/2 两个式子相加
f(a)+f(b)-2f(c)=(f″(ξ1)+f″(ξ2))(b-c)²/2 ,(b-c)²=(b-a)²/4, 因为二阶导数连续，而
(f″(ξ1)+f″(ξ2))/2是两点二阶导数的平均值，一定介于二者之间，由连续性知道有
ξ属于(a,b)使得(f″(ξ1)+f″(ξ2))/2=f″(ξ)。所以
f(a)+f(b)-2f(c)=(f″(ξ1)+f″(ξ2))(b-c)²/2=f″(ξ)(b-a)²/4。
3.设F(x)=f(x)+(ab/x)B,其中，B=(f(b)-f(a))/(b-a),
则，F(x)在[a,b]满足拉格朗日中值定理条件。
F(b)=f(b)+(ab/b)B
F(a)=f(a)+(ab/a)B
F(b)-F(a)=f(b)-f(a)+(a-b)B=0
所以，存在点η属于(a,b),使得F′(η)=0
即有B=η²f′(η)/(ab)=B
而B=(f(b)-f(a))/(b-a),由中值定理知道，有ξ属于(a,b),使得f′(ξ)=B
所以 f′(ξ)=η²f′(η)/(ab)成立。

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