Question

怎样计算导数的极限呢？

Answer 1

计算导数的极限可以通过求导的定义来实现。对于一个函数f(x)，它在点x处的导数可以表示为lim(h0) [f(x + h) - f(x)] / h，其中lim表示当h趋近于0时的极限。

以下是计算导数的极限的一般步骤：

1. 确定函数f(x)。
2. 计算f(x + h)：将x替换为x + h，得到f(x + h)。
3. 计算差商：用f(x + h)减去f(x)，得到f(x + h) - f(x)。
4. 除以h：将差商除以h，得到 [f(x + h) - f(x)] / h。
5. 计算极限：取h趋近于0时的极限，即lim(h0) [f(x + h) - f(x)] / h。

在有些情况下，可以直接对函数进行求导，得到导数函数，然后在特定点处代入x值，即可得到该点处的导数值。

需要指出的是，计算导数的极限可能需要一些数学技巧，特别是对于复杂的函数，可能需要使用导数的性质、洛必达法则等方法来求解。对于初学者来说，可能需要多练习和学习相关的数学知识。

Answer 2

当求解 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}$ 时，可以使用洛必达法则（L'Hôpital's rule）来计算这个极限。这个法则适用于形如 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 的不定型极限。

首先，我们将极限形式转换为 $\frac{0}{0}$ 的形式：

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \frac{0}{0}$

然后，对 $\frac{\sin(x)}{x}$ 应用洛必达法则：

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(\sin(x))}{\frac{d}{dx}(x)}$

对于导数计算：

$\frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x)$
$\frac{d}{dx}(x) = 1$

现在，将导数代入洛必达法则：

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)}{1}$

将 $x$ 替换为 0：

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \frac{\cos(0)}{1} = 1$

所以，$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$。这意味着当 $x$ 趋近于 0 时，$\frac{\sin(x)}{x}$ 的极限是 1。