Question

高中数学直线和圆的方程有关问题

1.为什么两直线方程联立就能得到过两直线交点的直线系方程？就是这个公式ax+by+c+N(Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ)=0的推导2.求圆的弦长有3中方法，其中一个是利用一元二次方程根与系数得出.一直线方程和一圆的方程联立，消元后得到关于X1+X2，X1*X2或Y1+Y2，Y1*Y2的关系式然后弦长的绝对值=根号下什么什么的（打不出来）.这个是怎么得到的？

Answer 1

1.设两直线方程为ax+by+c=0，Ax＋By＋C=0，设它们的交点为（x0，y0），则
ax0+by0+c=0
Ax0＋By0＋C=0
所以
ax0+by0+c+N(Ax0＋By0＋C)=0
显然直线ax+by+c+N(Ax＋By＋C)=0是过点（x0，y0），且N每取一个值它就表示一条直线，所以它称过两直线交点的直线系方程，当N=0时表示第一条直线，但是它不包含第二条直线，运用时注意检验。
2.利用两点间的距离公式进行推导
设直线与圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),当直线的斜率不存在时，求出交点坐标，直接求弦长；
当直线斜率存在时，则
斜率k=(y1-y2)/(x1-x2)
|AB|=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²|
=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]
=√(x1-x2)² *√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]/√(x1-x2)²
=√(x1-x2)² *√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]/(x1-x2)²
=√(x1-x2)² *√[1+(y1-y2)²/(x1-x2)²]
=√(x1-x2)² *√(1+k²)
=√(1+k²)* √[(x1+x2)² -4x1x2]