Question

在锐角三角形△ABC中，∠BAC=60°,BD、CE分别是AC、AB边上高，F是BC边的中点，连接DE、EF、FD，

则结论BE+CD＝BC正确吗？为什么

Answer 1

正确
CE⊥AB，F为BC的中点=》EF=BF=CF,同理可得DF=BF=CF，可得EF=DF
EF=BF=DF=CF=》∠BEF=∠EBF,∠DCF=∠FDC=》∠BEF+∠FDC=120°
=》∠FEA+∠FDA=240°=》∠A+∠EFD=120°=》∠EFD=60°,得EFD为等边三角形
借用一下：
若BE+CD=BC，则可在BC上截取BH=BE，则HC=CD．
∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°．又BH=BE，HC=CD，
∴∠BHE+∠CHD=120°，∠EHD=60°．
所以存在满足条件的点，假设成立
题中F点就是满足条件的点。

追问

∠EHD=60°是假设推出来的结论呀，“满足条件的点”你指的是什么呀，是F＝H点吗？那样不就成了一个正三角弄了吗。

追答

不好意思，开始以为可以转化为动点问题，没认真看
结论错误。
BE+CD=BC•sin∠BCE+BC•sin∠CBD=BC•（sin∠BCE+sin∠CBD）=BC•[sin∠BCE+sin（60°-∠BCE）]=2BC•[sin(（∠BCE+60°-∠BCE）/2)]•[cos((∠BCE-60°+∠BCE）/2)]=2BC•sin30°cos（30°-∠BCE）=BC•cos（30°-∠BCE），不一定等于BC；只有当∠BCE=30°时才成立。
这次肯定是对的，毕业后就是工作，好些年没碰到这种题了，有点生疏，别介意，呵呵

Answer 2

若BE+CD=BC，则可在BC上截取BH=BE，则HC=CD．
∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°．又BH=BE，HC=CD，
∴∠BHE+∠CHD=120°，∠EHD=60°．
所以存在满足条件的点，假设成立，但一般情况不一定成立，故错误；

Answer 3

不正确。当三角形ABC是正三角形时，就不成立。