Question

设z1是虚数，z2=z1+1/z1是实数，且-1小于等于z2小于等于1，(1)求z1的绝对值(2)z1的实部的取值范围

Answer 1

设：z1=a＋bi，则：z2=(z1)＋(1/z1)={a＋[a/(a²＋b²)]}＋{b－[b/(a²＋b²)]}i是实数，则：
虚部b－[b/(a²＋b²)]=0，得：b=0或a²＋b²=1【若b=0，则z1不是虚数，则b=0舍去】，所以
1、|z1|=√(a²＋b²)=1；
2、－1≤z2≤1，则：－1≤a＋[a/(a²＋b²)]≤1，即：－1≤a＋a≤1，则－(1/2)≤a≤(1/2)

Answer 2

设Z1=a+bi，
z2=z1+1/z1=a+bi+1/（a+bi）=a+bi+（a-bi）/（a^2+b^2)=a+a/(a^+b^2)+[b-b/(a^2+b^2)]i
z2是实数, 所以b-b/(a^2+b^2)=0, a^2+b^2=1
z1的绝对值=√a^2+b^2=1
-1<=z2=2a<=1 ∴ -1/2<=a<=1/2, 即为z1的实部的取值范围.|