Question

已知函数f(x)=(1-x)/ax+lnx，若g(x)=f(x)-x/4在[1，e]上单调递增，求正实数a的范围？

Answer 1

f(x)=[(1－x)/(ax)]＋lnx，则f'(x)=－(1/ax²)＋(1/x)，则：
g'(x)=－(1/ax²)＋(1/x)－(1/4)=[－(1/a)](1/x)²＋(1/x)－(1/4)
则g'(x)在区间[1，e]上必须满足：g'(x)≥0，即：
－(1/a)[1/x)²＋(1/x)－(1/4)≥0
－(1/a)≥(1/4)x²－x对x在[1，e]上的任意x恒成立，则：
－(1/a)只要大于等于【(1/4)x²－x】在区间[1，e]上的最大值即可。
M=(1/4)x²－x=(1/4)[x－2]²－1，则M在区间[1，e]上的最大值是M(x=1)=－3/4，所以，
－(1/a)≥－3/4
1/a≤3/4
4/(3a)≤1
(3a－4)/(3a)≥0
得：a≥4/3或a<0
考虑到a是正实数，则：a≥4/3

Answer 2

g `(x)=[1/ax-1/a+lnx-x/4] `=-(1/a)(1/x^2)+1/x-1/4= - [ax^2-4ax+4]/(4ax^2)
g(x)=f(x)-x/4在[1，e]上单调递增; 即：在[1，e]上g `(x)≥0恒成立；
也就是：ax^2-4ax+4≤0恒成立；
a(x^2-4x)≤-4; ax(x-4)≤-4在[1，e]上恒成立；
因为：在[1，e]上，x(x-4)<0恒成立
所以：只需a≥-4/[x(x-4)]=-4/(x^2-4x)
只需求出函数：k(x)=-4/(x^2-4x)的最大值；
由于：x^2-4x=(x-2)^2-4在在[1，2]上递减；在[2，e]上递增；
且x=1, x^2-4x=-3; x=e, x^2-4x=e(e-4)<-3
所以在[1，e]上：-4≤x^-4x≤-3
1/(x^-4x)≥-1/3; -4/(x^2-4x)≤4/3
即：k(x)的最大值是;4/3
所以a的取值范围是：[4/3,+∞)

Answer 3

g'(x)=f'(x)-1/4
=(-x-1+x)/ax^2+1/x-1/4
=1/x-1/ax^2-1/4
=(4x-4/a-x^2)/4x^2
在[1,e]上>=0
x^2-4x+4/a<=0
4/a<=-x^2+4x=-(x-2)^2+4
3<=-(x-2)^2+4<=4
所以a<0或a>=1