Question

二次函数中，为什么可以用△来决定图像与x轴的交点数量

求原理，求证明。

Answer 1

二次函数中，为什么可以用判别式△来决定图像与x轴的交点数量
答：二次函数的一般形式为：y=ax²+bx+c，(a≠0)，其图像叫做抛物线；a>0，开口朝上；
a<0开口朝下。方程组：
y=ax²+bx+c........(1)
y=0....................(2)
的解就是抛物线与x轴的交点的坐标；解此方程组，只须将(2)式代入(1)式，从而得二次方程ax²+bx+c=0；这个方程的解可能有一个，也可能有两个，也可能没有实数解。解的情况由其
判别式Δ=b²-4ac决定；Δ>0,有两解；Δ=0，有一解；Δ<0,无实数解。有两解，表明抛物线与
x轴有两个交点；有一解，表明抛物线与x轴只有一个交点；无实数解，表明抛物线与x轴没有
交点。因此可以用判别式来决定二次函数的图像与x轴的交点的数量。

Answer 2

因为二次方程的解的几何意义就是
此二次方程所对应的二次函数与X轴焦点的横坐标，
而△则是确定二次方程有几个根的工具，所以可以用△来决定图像与x轴的交点数量。
证明的话就是
解释一下图像与x轴的交点的意义
那就是令此二次方程所对应的函数值等于零
而此时得到的就是方程
而另一方面，函数值等于0就相当于图像上的纵坐标的值为零
那样解出来的值就是二次函数与X轴焦点的横坐标。

Answer 3

首先不应该是△来决定图像与x轴的交点数量，确切的说应该是“△来确定图像与x轴的交点数量”（x+b/2a)²=(b/2a)²-c/a
（x+b/2a)²=b^2/4a^2-c/4a
（x+b/2a)²=(b^2-4ac)/4a
x+b/2a=±√(b^2-4ac)/2a,
x=-b/2a±√(b^2-4ac)/2a,
x=[-b±√(b^2-4ac)]/2a,
x1=√(b^2-4ac)/2a,
x2=-√(b^2-4ac)/2a,
所以ax^2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）=a（x-（-b+根号b²-4ac）/2a)(x-(-b+根号b²-ac）/2a)

Answer 4

因为△可以表示二次方程的根的个数。
而二次方程的根的个数就和其二次函数与X轴的交点是一一对应的。

只要你弄懂二次方程的通用公式和函数的定义就能理解了

Answer 5

这个是根据单调性定义来的，函数递增，说明x1
0
因为f(x2)-f(x1)=f(x1+△x)-f(x1)
所以f(x1+△x)-f(x1)/△x=f(x2)-f(x1)/(x2-x1)>0
因为f'(x)=f(x1+△x)-f(x1)/△x
所以f'(x)>0
即函数递增时，有f'(x)>0